Main menu:

Угловой момент

Закон сохранения импульса гласит, что скорость центра масс изолированной системы постоянна по величине иЗемля и Луна направлению. Аналогично закон сохранения углового момента, который мы далее выведем, утверждает, что угловой момент изолированной системы не меняется по величине и по направлению.

Второй закон Ньютона утверждает, что скорость изменения импульса системы взаимодействующих частиц равна силе, действующей на систему извне. Аналогично скорость изменения полного момента системы взаимодействующих частиц равна моменту силы, обусловленному внешним воздействием.

Импульс системы частиц пропорционален скорости центра масс системы, причем коэффициент пропорциональности равен массе системы. Аналогично угловой момент твердого тела, вращающегося вокруг оси симметрии, пропорционален угловой скорости вращения, и коэффициент пропорциональности равен моменту инерции тела относительно этой оси. Масса - мера инертности тела по отношению к линейному ускорению; момент инерции (относительно данной оси) - мера инертности по отношению к изменению углового момента (относительно той же оси).

Архимедов закон равновесия неравноплечных весов, сформулированный Ньютоном в строгом математическом виде, естественным образом приводит к понятиям момента силы и углового момента. Хотя сам Ньютон и не использовал эти понятия в явном виде, он отчетливо понимал, что полученное еще Архимедом условие равновесия означает, что гантель, образованная двумя грузами, соединенными невесомым стержнем, не будет вращаться относительно точки опоры. Ньютон представил, что эта точка опоры является центром колеса, на горизонтальных спицах которого подвешены грузы. Он доказал, что если соотношение Архимеда выполняется, то силы, действующие на колесо со стороны грузов, эквивалентны равным по величине тангенциальным силам, приложенным к ободу колеса и стремящимся вращать его в противоположных направлениях.

Из закона сохранения углового момента следует, что если момент силы, приложенной к Земле, равен нулю, то ее ось вращения должна быть все время направлена в одну сторону и продолжительность звездных суток будет постоянной. Это заключение не столь очевидно, как может показаться на первый взгляд. Вектор угловой скорости твердого тела, которое вращается вокруг оси, не являющейся его осью симметрии, не сохраняет своего направления: он прецессирует вокруг неизменно направленного вектора углового момента (который в этом случае не совпадает с осью). Оси симметрии вращающихся планет и звезд совпадают с их осями симметрии, поскольку отклонение от сферической формы у них обусловлено центробежной силой, которая симметрична относительно оси вращения. Внешнее гравитационное поле, действуя на сферически-симметричное тело, не создает момента силы. Даже в случае взаимодействия несферического тела с точечной массой последняя не создает вращающего момента, приложенного к телу, если только распределение массы внутри тела симметрично относительно линии, соединяющей точечную массу с центром масс тела.

Теперь мы можем объяснить, почему происходит прецессия равноденствия и попятное движение линии узлов лунной орбиты. Если бы плоскости земного экватора, лунной орбиты и орбиты Земли совпадали, то момент сил, действующих на сфероидальную Землю со стороны как Луны, так и Солнца, был бы равен нулю. Но так как плоскость земного экватора наклонена к плоскостям орбит Луны и Земли, момент силы, обусловленный тяготением Луны и Солнца, оказывается отличным от нуля. Вскоре мы убедимся, что сила (усредненная за лунный месяц), действующая на Землю со стороны Луны, стремится повернуть ось вращения Земли (и вектор ее углового момента) к вертикали, т. е. в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты Луны. Однако, угловой момент изменяется в направлении момента силы, который перпендикулярен как самому угловому моменту, так и вертикальной оси. Следовательно, под действием тяготения Луны конец вектора углового момента описывает окружность вокруг вертикальной оси. При этом сам вектор описывает конус. Таким образом, усредненный за месяц момент сил, обусловленный воздействием Луны, не вызывает изменения ни величины углового момента, ни его наклона к вертикали.

Аналогичные рассуждения применимы и к моменту сил, обусловленному гравитационным воздействием Солнца, усредненным за год. Поскольку направления нормалей к плоскостям орбит Земли и Луны почти совпадают, усредненные векторы моментов сил, обусловленных воздействием Луны и Солнца, почти параллельны. Отношение величин этих векторов примерно равно отношению приливных ускорений, вызванных Луной и Солнцем и ответственных за возникновение момента сил.

Проведенный качественный анализ позволяет объяснить прецессию оси вращения Земли как результат действия на Землю моментов приливных сил, обусловленных влиянием Луны и Солнца. Однако объяснение нельзя считать исчерпывающим, пока мы не убедимся, что наблюдаемая величина периода прецессии (равная 26 тыс. лет) хорошо согласуется с результатами расчетов, сделанных на основе нашей теории. В свое время именно количественные оценки стали камнем преткновения, о который разбились многие остроумные и казавшиеся весьма правдоподобными гипотезы.

Пренебрегая локальными неровностями типа гор и долин, можно считать Землю сфероидом, полярный диаметр которого примерно на 1/зоо меньше, чем экваториальный. Для оценки величины момента сил можно представить Землю в виде сферы (для которой момент внешних сил равен нулю), окруженной тонким экваториальным выступом, состоящим из вещества, «изъятого» с полюсов. Рассчитать момент сил, действующих на кольцо экваториального выступа со стороны Луны и Солнца, не составляет особого труда. Однако выясняется, что вычисленное значение момента сил дает скорость прецессии, в три раза меньшую, чем следует из наблюдений. Полярные шапки «отрицательной массы» дают вклад в момент внешних сил в два раза больший, чем экваториальный выступ.

Применимость данного метода расчета можно продемонстрировать и другим путем. Вектор углового момента, связанного с движением Луны по орбите, прецессирует в направлении, обратном направлению прецессии перпендикуляра к плоскости земной орбиты. Поскольку период прецессии вектора лунного углового момента (18,6 лет) много больше, чем орбитальный период Луны (27,3 суток), этот эффект прецессии можно описать, предположив, что масса Луны распределена в виде тонкого кольца вдоль лунной орбиты. Расчетная величина периода прецессии (равна 17,8 лет) оказалась достаточно близкой к наблюдаемому, если, конечно, учесть приближенность оценки.