Main menu:

Кривизна пространства-времени и движение свободной частицы

Гравитационное поле искажает пространство-время. Сравним двумерное пространство-время Минковского с двумерным евклидовым пространством. В евклидовом пространстве прямой линией по определению называется линия, указывающая кратчайшее расстояние между двумя точками. Преимущество такого определения прямой линии заключается в том, что оно применимо к любому пространству; при этом подразумевается, что понятие расстояния уже определено. Например, из нашего определения следует, что прямые линии на поверхности сферы - это дуги больших кругов, т. е. кругов, центры которых совпадают с центром сферы.

В пространстве-времени Минковского евклидово определение прямой линии не применимо, поскольку всегда можно построить путь с нулевой «длиной», соединяющий любую пару событий. На пространственно-временной диаграмме Минковского прямая линия (в обычном, евклидовом, смысле), соединяющая два события, отделенных времениподобным интервалом, длиннее, чем интервал собственного времени, измеренного вдоль любого другого пути, соединяющего те же события.

Утверждение, что интервал собственного времени между двумя данными событиями максимален, когда он измеряется вдоль времениподобной прямой, соединяющей события, есть не что иное, как математическая формулировка парадокса близнецов. Поскольку траектория космической путешественницы на диаграмме Минковского представляет собой ломаную линию, ее собственное время, затраченное на полет от старта до посадки, будет меньше, чем собственное время между теми же событиями по восприятию ее оставшейся на Земле сестры.

Локальной системой отсчета Минковского называется система, в которой отсутствует гравитационное ускорение. В такой системе отсчета времениподобные прямые изображают траектории свободно движущихся частиц.

Хотя евклидова геометрия не применима на поверхности сферы, тем не менее можно построить на сферической поверхности прямые линии, воспользовавшись тем, что в малой окрестности любой выбранной точки практически справедливы законы евклидовой геометрии. (Математики говорят, что поверхность сферы локально евклидова). Мы можем, например, построить на квадратной сетке довольно точную карту Канзас-Сити, но не всей территории Соединенных Штатов.

На первый взгляд наш геометрический подход к описанию движения частиц в гравитационном поле совсем не похож на алгебраический метод Ньютона. Но с точки зрения математики оба подхода эквивалентны. Задача нахождения пути между двумя точками пространства, соответствующего минимальному (или максимальному) значению некоторой интегральной величины, например длины, была впервые сформулирована Галилеем, который поставил вопрос так: «Какова форма пути, по которому тело в поле тяготения Земли быстрее всего упадет из точки А в точку В?» Галилей ошибочно предполагал, что траектория, вдоль которой падение происходит за минимальное время, представляет собой дугу окружности.

Несколько лет спустя французский математик Ферма постулировал, что траектория светового луча в среде с переменным показателем преломления соответствует минимальному времени распространения света между двумя любыми точками траектории. Даниил Бернулли решил поставленную Галилеем задачу, применив принцип Ферма для нахождения траектории светового луча в среде, в которой скорость света изменяется с высотой так же, как скорость частицы в однородном гравитационном поле. В 1736 г. Эйлер показал, что все задачи подобного рода можно свести к определенной системе дифференциальных уравнений. В задаче о нахождении пространственно-временной траектории, соответствующей максимальному собственному времени между двумя событиями в искривленном пространстве-времени, эти дифференциальные уравнения идентичны ньютоновским уравнениям движения! Таким образом, с математической точки зрения алгебраическое и геометрическое описания движения в гравитационном поле эквивалентны, по крайней мере, когда гравитационный потенциал мал.