Main menu:

Кривизна космического пространства

Евклидово пространство удовлетворяет космологическому принципу: свойства треугольников и других геометрических фигур везде одинаковы и не существует преимущественного направления. Справедливо ли обратное утверждение? Обязательно ли пространство, геометрические свойства которого не выделяют преимущественных точек и направлений, является евклидовым?

Сначала рассмотрим этот вопрос применительно к двумерным поверхностям. Евклидова плоскость однородна и изотропна: треугольник или какая-нибудь другая фигура, нарисованная на евклидовой плоскости, может существовать в любой точке и при любой ориентации. Однако сказанное справедливо и в отношении треугольников, построенных на поверхности сферы, а потому она также однородна и изотропна. Существуют ли другие поверхности, по которым геометрические фигуры могли бы перемещаться без искажений?

Интуиция подсказывает, что ответ должен быть отрицательным, и на самом деле математически доказано, что других таких поверхностей построить в евклидовом пространстве нельзя. Однако можно разработать самосогласованное математическое описание двумерного пространства, называемого неевклидовым, или гиперболической плоскостью, которое, не являясь ни плоскостью, ни поверхностью евклидовой сферы, тем не менее допускает перемещение без искажений любой построенной на ней геометрической фигуры в произвольную точку этой поверхности с произвольной ориентацией. Подобно евклидовой плоскости это пространство бесконечно. Его геометрические свойства удовлетворяют всем аксиомам Евклида, за исключением аксиомы параллельности: если на евклидовой плоскости через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной, то в этой геометрии параллельных прямых можно провести бесконечное множество.

Неевклидова геометрия, разработанная в начале XIX в. венгром Яношем Бойаи, немцем Карлом Фридрихом Гауссом и русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским, явилась важным событием в истории математики, как и науки в целом. Подобно Платону и Архимеду, большинство математиков считали, что аксиомы, а следовательно, и теоремы евклидовой геометрии дают истинное представление о физическом пространстве. В конце XVIII в. Иммануил Кант высказал несколько иную точку зрения. Соглашаясь с тем, что в нашем восприятии пространство действительно описывается аксиомами Евклида, он одновременно отрицал, что реальный мир на самом деле имеет протяженность в пространстве. Наши органы чувств «навязывают» нам ошибочное представление о пространственном расположении внешней реальности. По мнению Канта, евклидова геометрия - это порождение нашего чувственного восприятия действительности. Создание неевклидовой геометрии показало, что аксиомы Евклида не обязательно должны выполняться как в платоновском, так и в кантовском смысле. Они всего лишь самосогласованны, как, впрочем, и аксиомы неевклидовой геометрии. Утверждение «геометрия физического пространства есть X» в современной интерпретации означает: «Космологическая теория, использующая геометрию X, более точно соответствует наблюдательным данным, чем теории, основанные на альтернативных геометриях».

Существуют трехмерные аналоги как сферической, так и неевклидовой геометрии. Трехмерный аналог поверхности сферы - это однородное и изотропное трехмерное пространство, имеющее конечный объем (подобно тому как сфера имеет конечную площадь поверхности). Как и на поверхности сферы, сумма углов треугольника в этом пространстве всегда больше 180°. Трехмерный аналог гиперболической плоскости - однородное, изотропное и бесконечное пространство, в котором сумма углов любого треугольника меньше 180°.

Не существует также никакой физической связи между специальной теорией относительности и гиперболическими пространствами. Так уж случилось, что геометрия калибровочной поверхности в пространстве-времени Минковского совпала с геометрией гиперболического пространства.