Main menu:

Луна как падающее тело

Постулировав, что каждая планета, притягивается к Солнцу силой, величина которой изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, Ньютон должен был теперь убедиться, что планеты под действием этой силы будут двигаться по эллиптическим орбитам, т. е. в соответствии с законами Кеплера. Для решения этой задачи Ньютон придумал новый подход к описанию ускоренного движения и новый математический язык для его выражения.

Как мы уже говорили, Гюйгенс утверждал, что если веревка, удерживающая вращающийся груз, порвется, то далее груз полетит по касательной. Гюйгенс предполагал, что движение этого тела по касательной будет казаться наблюдателю, находящемуся во вращающейся системе отсчета, равномерно ускоренным. Ньютон сформулировал это допущение иначе: он утверждал, что вращающийся на веревке груз (или планета, движущаяся с постоянной скоростью по круговой орбите) непрерывно отклоняется от прямолинейной траектории, по которой бы он двигался в отсутствие силы, тянущей его к центру окружности. Хотя груз непрерывно падает в направлении точки О, он никогда к ней не приближается, поскольку направление падения все время изменяется. Итак, груз должен непрерывно падать, чтобы оставаться на том же расстоянии от центра своей орбиты.

Этот подход может показаться излишне сложным для описания равномерного движения по окружности, однако он обладает важным преимуществом перед чисто интуитивным подходом Гюйгенса, поскольку пригоден также для описания неравномерного, некругового движения.  При своем движении вокруг Солнца по некруговой орбите планета то «улетает» от Солнца (т. е. удаляется от него), двигаясь от перигелия к афелию, то «падает» на него, смещаясь от афелия к перигелию. Вертикальная составляющая движения планеты испытывает ускорение в направлении к Солнцу, причем величина ускорения изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

Чтобы выразить эту идею количественно, Ньютон создал новый раздел математики, который назвал «методом начальных и конечных отношений» (сейчас он называется не столь наглядно и поэтично - дифференциальным исчислением).

Ньютон с успехом использовал метод начальных и конечных отношений для доказательства многих фундаментальных и изящных теорем. Тем не менее некоторые из современников Ньютона в принципе отвергали этот метод. Они утверждали, что «конечное отношение» двух «исчезающих» величин (т. е. величин, стремящихся к нулю) или «начальное отношение» двух «рождающихся» величин (т. е. величин, возрастающих от нуля) представляет собой отношение типа 0/0 и, следовательно, лишено всякого смысла. Возражая им, Ньютон в своем знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» отмечал, что эти возражения основаны на ложных предпосылках:

Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, нежели на любую наперед заданную разность, но которых превзойти или достигнуть на самом деле не могут, ранее чем эти количества уменьшатся бесконечно.

Эти разъяснения не удовлетворяли критиков Ньютона. Епископ Джордж Беркли, который родился как раз в тот год, когда была опубликована работа Ньютона, утверждал впоследствии, что метод Ньютона невозможно постигнуть: «Лишь тот, кто способен представить себе начало начал или конец конца… в состоянии постигнуть эти рассуждения. Однако я уверен, что большинство людей сочтет невозможным когда-нибудь понять их смысл». Далее Беркли замечал, что всякого, кто столь доверчив, что готов признать математику Ньютона, не должно «смущать любое утверждение в священном писании».

Введенное Ньютоном понятие о «предельном отношении» основано на интуитивном представлении о движении, так же как евклидовы понятия «точки» (объект, не имеющий размера) и «линии» (длина без ширины) основаны на интуитивном восприятии пространства. Определения, основанные на интуиции, достигают своей цели, если они вызывают соответствующий мысленный образ. Определения Евклида и Ньютона удовлетворяют этому умеренному требованию, а требовать от них большего - неразумно. Если мы хотим выяснить, что же «в действительности» представляет собой точка, линия или предельное значение, нам следует узнать, как эти понятия используются.

Введенные Ньютоном представления о начальном отношении двух зарождающихся величин и об окончательном отношении двух исчезающих величин плохо поддаются анализу. Однако на практике построение таких отношений вполне понятно и однозначно - по крайней мере, в определенных случаях.