Main menu:

Небесная гармония

Тема небесной гармонии, развитая Платоном в его диалоге «Тимей», всю жизнь вдохновляла и направляла работу Иоганна Кеплера, которому выпала честь завершить астрономическую революцию, начатую Коперником. Герой книги Платона, Тимей, принадлежит к пифагорейской школе и отождествляет четыре из пяти Платоновых тел с четырьмя основными элементами: куб - земля, тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, а пятое тело, додекаэдр, - Вселенная; далее он связывает строение Вселенной со строением диатонической гаммы. В книге «Космографическая тайна» (Mysterium Cosmographicum), опубликованной в 1596 г., Кеплер разработал иную космологическую интерпретацию Платоновых тел:

Земля [сфера Земли] - мера всех других сфер. Опишем додекаэдр вокруг нее - тогда окружающая его сфера будет сферой Марса. Опишем тетраэдр вокруг сферы Марса - и окружающая его сфера будет сферой Юпитера; опишем куб вокруг сферы Юпитера - и описанная вокруг него сфера будет сферой Сатурна. Поместим теперь икосаэдр внутрь сферы Земли - тогда вписанная в него сфера будет сферой Венеры. Наконец, поместим октаэдр внутри сферы Венеры, и вписанная в него сфера окажется сферой Меркурия.

Объяснив, почему существуют именно шесть планет (включая Землю), Кеплер приступил к построению геометрической модели, призванной объяснить результаты необычайно обширных и точных наблюдений планеты Марс, проведенных великим датским астрономом Тихо Браге, помощником которого Кеплер стал в 1601 г. В книге «Новая астрономия» (Astronomia Nova), завершенной в 1607 г. и опубликованной двумя годами позже, Кеплер привел два из своих знаменитых трех законов движения планет; один из них гласил, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце, а согласно второму, каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем линия, соединяющая Солнце с планетой (радиус-вектор планеты), за равные промежутки времени описывает равные площади.

Кеплер первым среди астрономов продолжил работу Аристарха по созданию геометрической модели мира, надежно подтверждаемой наблюдениями. Как объяснить, что эта попытка была предпринята лишь спустя 1800 лет?

Рассмотрим в ретроспективе те усовершенствования, в которых нуждалась модель Аристарха.

1. Шесть планетных орбит, которые в модели Аристарха целиком лежали в одной плоскости, следовало поместить в различные плоскости, проходящие через Солнце.

2. Принцип равномерного кругового движения (неизменно лежащий в основе математического подхода к астрономии с момента его зарождения и вплоть до конца XVI в.) следовало заменить новым принципом: отрезок прямой, соединяющий планету с Солнцем, описывает равные площади за равные промежутки времени.

3. Круговые (или комбинации круговых) орбиты планет требовалось заменить эллиптическими, поместив в один из фокусов эллипса Солнце.

Все эти нововведения были сделаны Кеплером. Никаких промежуточных моделей за всю предшествующую историю астрономии не предлагалось, и даже сейчас трудно представить такую модель. Чтобы достигнуть того, что сделал Кеплер, требовались физическая проницательность и математический гений, опирающиеся на неисчерпаемую энергию и самоотверженность. Столь же необходимы были беспрецедентные по точности и широте наблюдения. Короче говоря, нужен был Кеплер, вооруженный богатейшим материалом наблюдений Тихо Браге.

Объяснение движений планет в направлении, перпендикулярном эклиптике. В модели Аристарха все планеты движутся в одной плоскости, и поэтому их путь на небе должен совпадать с траекторией Солнца - эклиптикой. Насколько нам известно, Аристарх даже не пытался понять причину незначительных и, казалось бы, неупорядоченных перемещений планет перпендикулярно плоскости эклиптики. На протяжении столетий эти малые смещения тревожили астрономов. От Евдокса до Коперника - все они, хотя и безуспешно, пытались как-то отразить их в своих моделях. Птолемей высказал правильную мысль, предположив, что орбита каждой планеты лежит в плоскости, но у всех планет эти плоскости различны. Однако он полагал, что плоскости орбит планет должны проходить через центр Земли. Коперник, модифицировавший модель Птолемея, сместил общую точку орбитальных плоскостей, но не в Солнце, как мог бы ожидать современный читатель, а в точку, лежащую неподалеку от Солнца, которая в его модели служила центром земной орбиты (далее мы узнаем, почему Коперник не поместил Солнце в центр земной орбиты.) В результате предсказания движений планет в направлении, перпендикулярном эклиптике, стали лучше соответствовать наблюдениям, чем в модели Птолемея, однако точного соответствия по-прежнему не было.

Кеплер сделал шаг, казавшийся ему очевидным: совместил точку пересечения плоскостей орбит с Солнцем. Из этой гипотезы вытекает простое следствие, доступное проверке. Рассмотрим (см. рисунок) отрезок прямой, соединяющий Землю с планетой. Эта прямая наклонена к плоскости земной орбиты; следовательно, планета находится на небе выше или ниже эклиптики, за исключением двух точек, в которых орбита планеты пересекается с плоскостью орбиты Земли. Когда планета оказывается в одной из этих точек, на небе она располагается точно на эклиптике. Из чертежа видно, что линия, соединяющая точки пересечения траектории планет с эклиптикой, проходит через Солнце. Воспользовавшись результатами наблюдений Марса, выполненных Тихо Браге, Кеплер подтвердил это предположение. Оценив далее величину угла между плоскостью планетной орбиты и плоскостью эклиптики, он смог с удовлетворительной точностью вычислить угловое расстояние планеты от эклиптики в любой момент времени. Как видно из рисунка, угловое расстояние от планеты до эклиптики зависит не только от положения планеты на орбите, но и от расстояния между планетой и Землей. Взаимосвязью этих двух факторов обусловлен сложный характер наблюдаемого движения планет в направлении, перпендикулярном плоскости эклиптики.

Основываясь на модели Коперника и используя превосходные результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал первый существенный шаг в развитии теоретической астрономии со времен Аристарха. Комментируя свои выводы, он отмечал; что Коперник даже не представлял истинной ценности своего открытия.

Закон постоянства секторной скорости. Хотя модель Аристарха и объясняла все качественные особенности движений планет вдоль эклиптики, точность, с которой она описывала эти движения, не удовлетворяла даже современников ученого. По мере расширения наблюдений и увеличения их точности становилось ясно, что расхождение между предсказанием теории и результатами наблюдений отчасти имеет простой, систематический характер.

Рассмотрим, например, видимое движение Солнца. Еще во времена Аристарха астрономам было известно, что Солнце в течение года движется по эклиптике с переменной скоростью. Однако отклонения величины его скорости от среднего значения, определяемые на основании тщательных измерений продолжительности суток, сами имели простой и регулярный характер. Птолемей обнаружил, что наблюдаемую неравномерность движения Солнца можно описать с большой точностью, предположив, что Солнце движется с постоянной скоростью по эксцентрической окружности, т. е. окружности, центр которой не совпадает с Землей. По этой же причине в системе Коперника, представляющей собой гелиоцентрический вариант модели Птолемея, центр земной орбиты смещен в точку, расположенную неподалеку от Солнца. Эта точка, хотя и не имеет физического смысла, играет центральную роль (в буквальном смысле этого слова) в построениях Коперника: она служит геометрическим центром деферентов всех планетных орбит.

Астрономические наблюдения показывают, что и остальные пять планет также обращаются вокруг Солнца с изменяющейся скоростью. Смещение центров круговых орбит планет от Солнца уменьшает, но не исключает полностью расхождения между теоретическими предсказаниями и результатами наблюдений. В свое время Птолемей, столкнувшись с этой трудностью, придумал выход. Суть идеи Птолемея (но применительно к гелиоцентрической модели) следующая. Планета движется по круговой орбите, центр которой  расположен вне Солнца. Движение планеты происходит таким образом, что линия, соединяющая планету с некоторой точкой, за равные интервалы времени описывает равные углы. Эта точка, называемая эквантом, также не совпадает с центром окружности. В результате скорость планеты возрастает с увеличением расстояния до экванта и уменьшается при приближении к нему.

Методом проб и ошибок Птолемей установил, что точнее всего описать движение Марса, Юпитера и Сатурна удается, поместив эквант в точку, удаленную от центра планетной орбиты на то же расстояние, что и Солнце (в модели Птолемея - Земля), но расположенную по другую сторону от этого центра. Другими словами, центр круговой орбиты делит пополам отрезок, соединяющий эквант с Солнцем. Коперник отверг это остроумное ухищрение на том основании, что оно противоречило принципу равномерного кругового движения. Он заменил птолемеевы экванты внешними эпициклами - это одна из причин, по которой в его модели используется больше кругов, чем у Птолемея. Кеплер увидел систему эквантов совсем в другом свете. Он счел, что она должна отражать истинную закономерность движений планет и, следовательно, ее следует применить к орбитам всех планет, включая Землю. Птолемей использовал простую эксцентрическую окружность для описания движения Солнца вокруг Земли, а Коперник ту же окружность применил для описания движения Земли вокруг Солнца. В системе Птолемея способ описания движения Солнца не влиял непосредственно на модели орбит пяти планет - каждая из моделей в скрытой форме учитывала движение Земли. Но в любой гелиоцентрической системе описание движения Земли имеет решающее значение, поскольку от этого непосредственно зависит результат теоретического предсказания наблюдаемого перемещения планет по небу. Кеплер осознал, что для построения точной теории движения планет ему придется проверить применимость гипотезы экванта к земной орбите.

Модель орбиты с эквантом, равно как и более простая модель эксцентрической окружности, имеет всего один свободный параметр: отношение расстояния Солнца от центра орбиты к радиусу орбиты. Эта величина называется эксцентриситетом. Ее можно найти из наблюдений, определив отношение наибольшей и наименьшей величин суточного перемещения Солнца вдоль эклиптики. Однако значение эксцентриситета, необходимое для объяснения наблюдаемой величины указанного отношения, меньше (ровно в два раза) для модели с эквантом, чем в случае простой эксцентрической окружности. Чтобы решить, какая из моделей верна, Кеплеру нужно было придумать, как определить расстояние от Солнца до центра земной орбиты.

Он нашел простой и изящный метод решения этой проблемы. Пусть Земля будет кораблем, а Солнце - неподвижным маяком. Чтобы нанести на карту положение корабля, штурману нужны фиксированное направление отсчета (его дает, например, магнитный компас) и два неподвижных маяка. Дальнейшую схему действий штурмана нетрудно понять. Вернемся, однако, к астрономии. Звезды обеспечивают фиксированное направление отсчета, а роль одного из неподвижных маяков выполняет Солнце. Задача сводится к тому, чтобы найти аналог второму маяку: им должен быть неподвижный объект, направление на который заметным образом меняется при движении Земли по орбите. Однако в Солнечной системе имеется всего один неподвижный объект - Солнце. Кеплер нашел простой способ создать второй «маяк», сообразив, что его роль может играть Марс, который спустя ровно один марсианский год возвращается в исходную точку. Продолжительность марсианского года была известна с большой точностью. Измеряя направление на Марс и Солнце через интервалы времени, равные марсианскому году, Кеплер смог определить положение точек, отражавших положение Земли на различных участках орбиты.

Таким путем Кеплер обнаружил, что эксцентриситет земной орбиты в точности совпадает с тем, что предсказывала модель с эквантом, как он и предполагал. После этого Кеплер разработал свою модель, которую мы назовем моделью В. В ней, как и в модели А, орбитами планет еще служили окружности, но лежали они в различных плоскостях, проходящих через Солнце. Солнце было смещено относительно центра каждой орбиты, а движение планет описывалось с использованием птолемеевых эквантов. Эта модель представляла собой шаг вперед по сравнению с моделью А, однако Кеплер на этом не остановился. Модель не объясняла результаты наблюдений Тихо Браге с подобающей точностью; более того, в глазах Кеплера она обладала серьезным качественным недостатком.